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Comment trouver tous les zéros d'une fonction

Lorsque vous trouvez tous les zéros d'une fonction polynomiale, vous obtenez les valeurs de x qui rendent la fonction f (x) égal à zéro. Un zéro peut être un nombre réel ou complexe. À certains moments, trouver tous les zéros de fonctions qui ont un degré de 3 ou plus peut être une tâche fastidieuse. Vous devez établir un plan pour briser ces fonctions polynômes de degré supérieur en facteurs réalisables.

  1. Comprendre la technique de trouver des zéros d'une fonction

  2. 1

    Découvrez le nombre total de racines d'une fonction en utilisant le corollaire du théorème fondamental de l'algèbre qui stipule que tout polynôme de degré n a exactement n total des racines ou des zéros pour une fonction. Cela ne nous dit pas si ces zéros sont des nombres réels.

  3. 2

    Déterminer le nombre maximal de possibles racines réelles en utilisant la règle de Descartes de signes. Pour une fonction f (x), compter le nombre de changements de signe pour les termes x. Ceci est le nombre maximum, mais peut-être pas le nombre réel de possibles racines ou des zéros réels positifs. Pour trouver toutes les possibilités diminuent ce nombre par multiples de 2 jusqu'à ce que le résultat est négatif. Vous déterminez les possibles racines réelles négatives en trouvant f (-x), puis déterminer les zéros de la même manière que ci-dessus (voir Ressources).

  4. 3

    Appliquer le théorème racine rationnelle qui stipule que un polynôme et de coefficient A et constante terme C peut avoir des racines ou des zéros de la forme ± p / q où p est un facteur de C et q rationnels est un facteur de A. Il ne dit pas nous qui sont les racines réelles.

  5. 4



    Utilisez division synthétique pour trouver lequel des racines rationnelles possibles est une racine réelle. Vous choisissez d'abord une racine rationnelle possible ± p / q de la liste à l'étape 3. Ensuite, utilisez la division synthétique (voir Ressources). Si une racine est complexe, alors vous devez trouver la racine par la procédure de l'étape 5.

  6. 5

    Trouver les racines restantes de équations du second degré qui ne sont pas factorisable en utilisant la formule quadratique. Pour une équation quadratique dans sa forme standard, la hache? + Bx + c = 0, la formule est x = [-b ± sqrt (b? -4ac)] / 2a. Notez que vous pouvez utiliser l'équation quadratique pour trouver également équations du second degré factorisables.

    7. Trouver tous les zéros d'une fonction

    • 1


      Utilisez la fonction polynôme f (x) = 3x? -8x? + 5x-2 comme un exemple et utiliser la technique décrite dans la section 1 de trouver les zéros ou des racines. Premier coup d'oeil au degré du polynôme, il est 3 donc il ya exactement 3 zéros ou des racines pour cette fonction. Ils peuvent être des zéros réels ou complexes.

    • 2


      Commencez par le côté gauche de l'équation pour l'exemple à l'étape 1 et utiliser la règle de Descartes de signes de compter le nombre de changements de signe pour la x terms- il ya 3 changements de signe. Soustraire 2 de ce numéro (3-2) pour obtenir 1, donc il ya 3 ou 1 racines réelles positives ou des zéros pour cette fonction. Maintenant, trouver les racines réelles négatives en déterminant f (-x). Pour l'exemple dans l'étape 1, f (-x) = 3 (-X?) - 8 (-x?) 5 (-x) = -2 -3x -8x? -5x-2. Ici, il n'y a pas de changements de signe donc il n'y a pas de racines ou des zéros réels négatifs.

    • 3

      Appliquer le théorème racine rationnelle à l'équation de l'exemple 3x? -8x? + 5x-2 et de trouver ± p / q. D'abord trouver les facteurs de la constante 2 qui sont 1, 2. Ensuite, trouver les facteurs du premier coefficient 3, qui sont 1 et 3. Les racines rationnelles possibles ± p / q est de ± 1, ± 2, ± 1/3, et ± 2/3.

    • 4

      Trouver une racine réelle de l'exemple en choisissant d'abord une racine rationnelle de la liste à l'étape 3, puis utilisez la procédure de division synthétique (voir Ressources ci-dessous). Vous obtenez ce que 2 est la seule racine rationnelle ou nulle et que (x-2) est un facteur. Ensuite, les facteurs polynomiaux en (x-2) X (3x? -2x + 1).

    • 5

      Set (x-2) X (3x? -2x + 1) = 0 et résoudre (x-2) = 0 pour obtenir x = 2. Puis résoudre (3x? -2x + 1) = 0.Utilisation la formule quadratique de la section 1, l'étape 5 pour trouver les deux derniers zéros de la fonction parce que (3x? -2x + 1) ne sont pas factorisable. Cette paire de complexe [1 + i (v2)] / 3 et [i-1 (v2)] / 3 sont les deux derniers zéros de la fonction. Les zéros de la fonction polynomiale 3x? -8x? + 5x-2 sont x = 2, x = [1 + i (v2)] / 3 et x = [1-i (v2)] / 3. Ceci est une solution à ce problème.

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