Notions de base de la modélisation mathématique

Les Faits

• Les modèles sont importants pour la compréhension de nombreux concepts et idées scientifiques. Les individus ont consacré une grande quantité de temps en temps à la construction et à l'amélioration des modèles existants afin d'avoir une compréhension précise d'un certain comportement. Quelques exemples de modèles mathématiques incluent le modèle de l'atome de Bohr, le modèle de Lorenz de l'atmosphère et le modèle de Lotka-Volterra des interactions entre les prédateurs et les proies.

Caractéristiques

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  Outre les exemples précis énumérés ci-dessus, les modèles sont également utilisés pour comprendre les phénomènes physiques généraux tels que le son d'un piano et de la fonte de la glace. Toutes les idées de modélisation mathématique viennent du monde réel. Selon l'Université de l'Indiana, modèles découlent de la volonté des scientifiques à comprendre un phénomène physique.

Fonction

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  Selon l'Université de l'Indiana, la première étape de la modélisation mathématique est d'identifier le problème. La deuxième étape est le problème fait aussi précis que possible en examinant certaines idéalisations et des approximations qui sont appropriés pour le problème (cela est nécessaire parce que le problème doit être comprise dans le langage mathématique). Par exemple, un psychologue qui étudie le comportement de rat en labyrinthe peut décider que la couleur des rats est un facteur non pertinent à son problème de modélisation. Cependant, la quantité de lumière dans la cage peut être un facteur pertinent. La troisième étape est d'identifier les processus opérationnels qui créent le problème et d'exprimer ces opérations en termes symboliques et mathématiques. Enfin, la quatrième étape consiste à comparer les résultats qui proviennent du modèle mathématique pour le monde réel (dans le but de tester le modèle pour la précision et la validité).

Exemple

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  Il existe de nombreux exemples historiques dans le domaine de la modélisation mathématique. Un des exemples les plus frappants est le modèle de croissance de la population. Selon l'Université de Duke, dans le 18ème siècle, Thomas Malthus a identifié que la croissance de la population de l'homme est "fondamentalement différente de la croissance de l'approvisionnement en nourriture pour nourrir cette population." En conséquence, il suggère que la croissance de la population est géométrique (ou ce que nous appelons maintenant exponentielle) tandis que la croissance de l'approvisionnement alimentaire est arithmétique (ou linéaire). Sa conclusion était que, si la situation reste inchangée, à un certain moment dans le futur, le monde va manquer de nourriture.

Applications

• Mathématiques contemporaines modélisation traite de sujets plus avancés que la croissance de la population. Par exemple, un article Décembre 2008 dans la Journal matériaux et structures intelligents étudié l'idée d'améliorer les modèles précédents de pêcheurs de l'énergie piézoélectriques (le potentiel électrique trouvé dans certains minéraux).